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KAPITEL EINS: DIE ILLUSION DER WIRKLICHKEIT.

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xBORDER-PROJEKT 8: BACK_IT_UP

{ DEN KERN SCHÜTZEN }

 

PROJEKT 8: KAPITEL EINS: DIE ILLUSION DER WIRKLICHKEIT.  

 

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PROJEKT 8: KAPITEL EINS: DIE ILLUSION DER WIRKLICHKEIT.  

RSA ist ein Algorithmus , der von modernen Computern zum Ver- und Entschlüsseln von Nachrichten verwendet wird. Es ist ein asymmetrischer kryptographischer Algorithmus. Asymmetrisch bedeutet, dass es zwei unterschiedliche Schlüssel gibt. Dies wird auch als Public-Key-Kryptografie bezeichnet, da einer der Schlüssel jedem gegeben werden kann. Der andere Schlüssel muss geheim gehalten werden. Der Algorithmus basiert auf der Tatsache, dass es schwierig ist, die Faktoren einer großen zusammengesetzten Zahl zu finden: Wenn die Faktoren Primzahlen sind, wird das Problem als Primfaktorzerlegung bezeichnet. Es ist auch ein Generator für Schlüsselpaare (öffentlicher und privater Schlüssel).

  • Ich liebe den NERD

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Betrieb

RSA beinhaltet einen öffentlichen Schlüssel und einen privaten Schlüssel. Der öffentliche Schlüssel kann jedem bekannt sein – er wird verwendet, um Nachrichten zu verschlüsseln. Mit dem öffentlichen Schlüssel verschlüsselte Nachrichten können nur mit dem privaten Schlüssel entschlüsselt werden. Die Schlüssel für den RSA-Algorithmus werden folgendermaßen generiert:

  1. Wähle zwei verschiedene große zufällige Primzahlen p {\displaystyle p\,} und q {\displaystyle q\,}

  2. Berechne n = pq {\displaystyle n=pq\,}

  3. n {\displaystyle n\,} ist der Modulus für den öffentlichen Schlüssel und die privaten Schlüssel

  4. Berechnen Sie den Totienten : ϕ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) {\displaystyle \phi (n)=(p-1)(q-1)\,} .

  5. Wähle eine ganze Zahl e {\displaystyle e\,} so dass 1 < e {\displaystyle e\,} < ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)\,} und e {\displaystyle e\,} ist teilerfremd zu ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)\,} dh: e {\displaystyle e\,} und ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)\,} teilen sich keine anderen Faktoren als 1; ggT ( e {\displaystyle e\,} , ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)\,} ) = 1.

    • e {\displaystyle e\,} wird als Exponent des öffentlichen Schlüssels freigegeben

  6. Berechnen Sie d {\displaystyle d\,}, um die Kongruenzbeziehung zu erfüllen de ≡ 1 ( mod ϕ ( n ) ) {\displaystyle de\equiv 1{\pmod {\phi (n)}}\,} dh: de = 1 + x ϕ ( n ) {\displaystyle de=1+x\phi (n)\,} für eine ganze Zahl x {\displaystyle x\,} . (Einfach gesagt  : Berechnen Sie d = ( 1 + x ϕ ( n ) ) / e {\displaystyle d=(1+x\phi (n))/e\,} als ganze Zahl)

    • d {\displaystyle d\,} wird als Exponent des privaten Schlüssels beibehalten

Hinweise zu den obigen Schritten:

  • Schritt 1: Zahlen können probabilistisch auf Primzahl getestet werden.

  • Schritt 3: in PKCS#1 geändert  ( en ) v2.0 bis λ ( n ) = lcm ( p − 1 , q − 1 ) {\displaystyle \lambda (n)={\rm {lcm}}(p-1,q-1)\,} statt ϕ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) {\displaystyle \phi (n)=(p-1)(q-1)\,} .

  • Schritt 4: Eine beliebte Wahl für die öffentlichen Exponenten ist e {\displaystyle e\,} = 216 + 1 = 65537. Einige Anwendungen wählen stattdessen kleinere Werte wie e {\displaystyle e\,} = 3, 5 oder 35. Dies geschieht, um die Verschlüsselung und Signaturüberprüfung auf kleinen Geräten wie Smartcards zu beschleunigen, aber kleine öffentliche Exponenten können zu größeren Sicherheitsrisiken führen.

  • Die Schritte 4 und 5 können mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus durchgeführt werden  ( de ); siehe modulare Arithmetik .


Der öffentliche Schlüssel besteht aus dem Modulus n {\displaystyle n\,} und dem öffentlichen (oder Verschlüsselungs-)Exponenten e {\displaystyle e\,} .
Der private Schlüssel besteht aus p, q und dem privaten (oder Entschlüsselungs-) Exponenten d {\displaystyle d\,}, der geheim gehalten werden muss.

  • Aus Effizienzgründen kann eine andere Form des privaten Schlüssels gespeichert werden:

    • p {\displaystyle p\,} und q {\displaystyle q\,} : die Primzahlen aus der Schlüsselgenerierung,

    • d mod ( p − 1 ) {\displaystyle d\mod (p-1)\,} und d mod ( q − 1 ) {\displaystyle d\mod (q-1)\,} : oft dmp1 und dmq1 genannt.

    • q − 1 mod ( p ) {\displaystyle q^{-1}\mod (p)\,} : oft iqmp genannt

  • Alle Teile des privaten Schlüssels müssen in dieser Form geheim gehalten werden. p {\displaystyle p\,} und q {\displaystyle q\,} sind empfindlich, da sie die Faktoren von n {\displaystyle n\,} sind und die Berechnung von d {\displaystyle d\,} bei gegebenem e {\ Anzeigestil e\,} . Wenn p {\displaystyle p\,} und q {\displaystyle q\,} nicht in dieser Form des privaten Schlüssels gespeichert werden, werden sie zusammen mit anderen Zwischenwerten aus der Schlüsselgenerierung sicher gelöscht.

  • Obwohl diese Form eine schnellere Entschlüsselung und Signierung durch Verwendung des Chinese Remainder Theorem (CRT) ermöglicht, ist sie erheblich weniger sicher, da sie Seitenkanalangriffe ermöglicht  ( de ). Dies ist ein besonderes Problem, wenn es auf Chipkarten implementiert wird, die am meisten von der verbesserten Effizienz profitieren. (Beginne mit y = xe ( mod n ) {\displaystyle y=x^{e}{\pmod {n}}} und lass die Karte das entschlüsseln. Also berechnet sie yd ( mod p ) {\displaystyle y^{d }{\pmod {p}}} oder yd ( mod q ) {\displaystyle y^{d}{\pmod {q}}} deren Ergebnisse einen Wert z {\displaystyle z} ergeben. Induzieren Sie nun einen Fehler in einem der Berechnungen. Dann ergibt ggT ( z − x , n ) {\displaystyle \gcd(zx,n)} p {\displaystyle p} oder q {\displaystyle q} .)

Nachricht verschlüsseln

Alice gibt Bob ihren öffentlichen Schlüssel ( n {\displaystyle n\,} & e {\displaystyle e\,} ) und hält ihren privaten Schlüssel geheim. Bob möchte Nachricht M an Alice senden.

Zuerst wandelt er M in eine Zahl um, die kleiner ist als n {\displaystyle n}, indem er ein vereinbartes umkehrbares Protokoll verwendet, das als Padding-Schema bekannt ist. Er berechnet dann den Geheimtext c {\displaystyle c\,} entsprechend:

c = ich mod n {\displaystyle c=m^{e}\mod {n}}

Das geht schnell mit der Methode der Potenzierung durch Quadrierung . Bob sendet dann c {\displaystyle c\,} an Alice.

Nachricht entschlüsseln

Alice kann m {\displaystyle m\,} aus c {\displaystyle c\,} wiederherstellen, indem sie ihren privaten Schlüssel d {\displaystyle d\,} im folgenden Verfahren verwendet:

m = cd mod n {\displaystyle m=c^{d}{\bmod {n}}}

Bei gegebenem m {\displaystyle m\,} kann sie die ursprünglichen unterschiedlichen Primzahlen wiederherstellen, indem sie den chinesischen Restsatz auf diese beiden Kongruenzergebnisse anwendet

med ≡ m mod pq {\displaystyle m^{ed}\equiv m{\bmod {pq}}} .

Daher,

cd ≡ m mod n {\displaystyle c^{d}\equiv m{\bmod {n}}} .

Ein funktionierendes Beispiel

Hier ist ein Beispiel für die RSA-Verschlüsselung und -Entschlüsselung. Die hier verwendeten Parameter sind künstlich klein, aber Sie können OpenSSL auch verwenden, um ein echtes Schlüsselpaar zu generieren und zu untersuchen .

  1. Wähle zwei zufällige Primzahlen.

  2.   : p = 61 {\displaystyle p=61} und q = 53 ; {\displaystyle q=53;} Berechne n = pq {\displaystyle n=pq\,}

  3.   : n = 61 ∗ 53 = 3233 {\displaystyle n=61*53=3233}

  4. Berechnen Sie den Totienten ϕ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) {\displaystyle \phi (n)=(p-1)(q-1)\,}

  5.   : ϕ ( n ) = ( 61 − 1 ) ( 53 − 1 ) = 3120 {\displaystyle \phi (n)=(61-1)(53-1)=3120}

  6. Wähle e > 1 {\displaystyle e>1} teilerfremd zu 3120

  7.   : e = 17 {\displaystyle e=17}

  8. Wähle d {\displaystyle d\,}, um de mod ϕ ( n ) ≡ 1 {\displaystyle de{\bmod {\phi (n)}}\equiv 1\,} zu erfüllen

  9.   : d = 2753 {\displaystyle d=2753}

  10.   : 17 ∗ 2753 = 46801 = 1 + 15 ∗ 3120 {\displaystyle 17*2753=46801=1+15*3120} .


Der öffentliche Schlüssel ist ( n = 3233 {\displaystyle n=3233} , e = 17 {\displaystyle e=17} ). Für eine aufgefüllte Nachricht m {\displaystyle m\,} wird die Verschlüsselungsfunktion c = me mod n {\displaystyle c=m^{e}{\bmod {n}}} zu:

c = m 17 mod 3 233 {\displaystyle c=m^{17}{\bmod {3}}233\,}

Der private Schlüssel ist ( n = 3233 {\displaystyle n=3233} , d = 2753 {\displaystyle d=2753} ). Die Entschlüsselungsfunktion m = cd mod n {\displaystyle m=c^{d}{\bmod {n}}} wird zu:

m = c 2753 mod 3 233 {\displaystyle m=c^{2753}{\bmod {3}}233\,}


Um beispielsweise m = 123 {\displaystyle m=123} zu verschlüsseln, berechnen wir

c = 123 17 mod 3 233 = 855 {\displaystyle c=123^{17}{\bmod {3}}233=855}

Um c = 855 {\displaystyle c=855} zu entschlüsseln, berechnen wir

m = 855 2753 mod 3 233 = 123 {\displaystyle m=855^{2753}{\bmod {3}}233=123}

Diese beiden Berechnungen können effizient unter Verwendung des Square-and-Multiply-Algorithmus zur modularen Potenzierung berechnet werden  ( de ).

Ableitung der RSA-Gleichung aus dem Satz von Euler

RSA kann leicht unter Verwendung des Satzes von Euler und der Totient-Funktion von Euler abgeleitet werden.

Beginnend mit dem Satz von Euler,

m φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle m^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}

Unter Verwendung der modularen Arithmetik kann die Gleichung umgeschrieben werden als

 

 

Multiplizieren Sie beide Seiten mit m

m ≡ m φ ( n ) + 1 ( mod n ) {\displaystyle m\equiv m^{\varphi (n)+1}{\pmod {n}}}

Eulers Totient-Funktion hat die Eigenschaft für einige Werte p und q,

φ ( p × q ) = φ ( p ) × φ ( q ) {\displaystyle \varphi (p\times q)=\varphi (p)\times \varphi (q)}

Daher kann die Gleichung umgeschrieben werden als

m ≡ m φ ( p × q ) + 1 ( mod p × q ) {\displaystyle m\equiv m^{\varphi (p\times q)+1}{\pmod {p\times q}}}

Außerdem gilt für alle ganzen Zahlen k noch folgende Beziehung:

m ≡ mk × φ ( p × q ) + 1 ( mod p × q ) {\displaystyle m\equiv m^{k\times \varphi (p\times q)+1}{\pmod {p\times q} }}

Der Wert d wird aus der folgenden Gleichung abgeleitet, wobei e eine große Primzahl ist und für einige k so, dass d eine ganze Zahl ist:

d = k × φ ( p × q ) + 1 e {\displaystyle d={k\times {\varphi (p\times q)+1} \over {e}}}

Und nach Exponentenregeln gilt die folgende Aussage:

m = mek × φ ( p × q ) + 1 e {\displaystyle m=m^{e^{k\times {\varphi (p\times q)+1} \over {e}}}}

Da sich die e aufheben. Also beim Verschlüsseln des Geheimtextes m,

c ≡ ich ( mod p × q ) {\displaystyle c\equiv m^{e}{\pmod {p\times q}}}

Der ursprüngliche Wert von m kann von c abgeleitet werden, indem c auf d erhöht wird.

m ≡ cd ( mod p × q ) ≡ med ( mod p × q ) ≡ mek × φ ( p × q ) + 1 e ( mod p × q ) {\displaystyle m\equiv c^{d}{\pmod { p\times q}}\equiv m^{e^{d}}{\pmod {p\times q}}\equiv m^{e^{k\times {\varphi (p\times q)+1} \over {e}}}{\pmod {p\times q}}}

Die Gleichung zeigt die Äquivalenz gilt und den Fortschritt

 

Polsterschemata

In der Praxis muss RSA mit einem Padding-Schema kombiniert werden, damit keine Werte von M zu unsicheren Geheimtexten führen. Bei Verwendung von RSA ohne Polsterung können einige Probleme auftreten:

  • Die Werte m = 0 oder m = 1 erzeugen aufgrund der Potenzierungseigenschaften immer Chiffretexte gleich 0 bzw. 1.

  • Beim Verschlüsseln mit kleinen Verschlüsselungsexponenten (z. B. e = 3) und kleinen Werten von m kann das (nicht-modulare) Ergebnis von me {\displaystyle m^{e}} strikt kleiner als der Modulus n sein. In diesem Fall können Chiffretexte leicht entschlüsselt werden, indem die eth-Wurzel des Chiffretexts ohne Rücksicht auf den Modul genommen wird.

  • Die RSA-Verschlüsselung ist ein deterministischer Verschlüsselungsalgorithmus . Es hat keine Zufallskomponente. Daher kann ein Angreifer erfolgreich einen ausgewählten Klartextangriff gegen das Kryptosystem starten. Sie können ein Wörterbuch erstellen , indem sie wahrscheinliche Klartexte unter dem öffentlichen Schlüssel verschlüsseln und die resultierenden Geheimtexte speichern. Der Angreifer kann dann den Kommunikationskanal beobachten. Sobald sie Chiffretexte sehen, die mit denen in ihrem Wörterbuch übereinstimmen, können die Angreifer dieses Wörterbuch verwenden, um den Inhalt der Nachricht zu erfahren.

In der Praxis können die ersten beiden Probleme auftreten, wenn kurze ASCII- Nachrichten gesendet werden. In solchen Nachrichten kann m die Verkettung eines oder mehrerer ASCII-codierter Zeichen sein. Eine Nachricht, die aus einem einzelnen ASCII-NUL-Zeichen besteht (dessen numerischer Wert 0 ist), würde als m = 0 codiert werden, was einen Chiffretext von 0 erzeugt, unabhängig davon, welche Werte von e und N verwendet werden. Ebenso würde ein einzelner ASCII-SOH (dessen numerischer Wert 1 ist) immer einen Chiffretext von 1 erzeugen. Für Systeme, die herkömmlicherweise kleine Werte von e verwenden, wie z Das größte m hätte einen Wert von 255, und 2553 ist kleiner als jeder vernünftige Modul. Solche Klartexte könnten wiederhergestellt werden, indem man einfach die Kubikwurzel des Geheimtextes zieht.

Um diese Probleme zu vermeiden, betten praktische RSA-Implementierungen typischerweise irgendeine Form von strukturiertem, randomisiertem Padding in den Wert m ein, bevor sie ihn verschlüsseln. Dieses Auffüllen stellt sicher, dass m nicht in den Bereich unsicherer Klartexte fällt und dass eine bestimmte Nachricht, sobald sie aufgefüllt ist, in einen von einer großen Anzahl verschiedener möglicher Chiffretexte verschlüsselt wird. Die letztgenannte Eigenschaft kann die Kosten eines Wörterbuchangriffs über die Möglichkeiten eines vernünftigen Angreifers hinaus erhöhen.

Standards wie PKCS wurden sorgfältig entwickelt, um Nachrichten vor der RSA-Verschlüsselung sicher aufzufüllen. Da diese Schemata den Klartext m mit einer gewissen Anzahl zusätzlicher Bits auffüllen, muss die Größe der nicht aufgefüllten Nachricht M etwas kleiner sein. RSA-Padding-Schemata müssen sorgfältig entworfen werden, um ausgeklügelte Angriffe zu verhindern. Dies kann durch eine vorhersagbare Nachrichtenstruktur erleichtert werden. Frühe Versionen des PKCS-Standards verwendeten Ad-hoc- Konstruktionen, die sich später als anfällig für einen praktischen adaptiven Ciphertext-Angriff erwiesen . Moderne Konstruktionen verwenden sichere Techniken wie Optimal Asymmetric Encryption Padding (OAEP), um Nachrichten zu schützen und gleichzeitig diese Angriffe zu verhindern. Der PKCS -Standard hat auch Verarbeitungsschemata, die dafür ausgelegt sind, zusätzliche Sicherheit für RSA-Signaturen bereitzustellen, z. B. das Probabilistic Signature Scheme for RSA ( RSA-PSS ).

Nachrichten signieren

Angenommen, Alice verwendet Bobs öffentlichen Schlüssel, um ihm eine verschlüsselte Nachricht zu senden. In der Nachricht kann sie behaupten, Alice zu sein, aber Bob hat keine Möglichkeit zu überprüfen, ob die Nachricht tatsächlich von Alice stammt, da jeder Bobs öffentlichen Schlüssel verwenden kann, um ihm verschlüsselte Nachrichten zu senden. Um also die Herkunft einer Nachricht zu verifizieren, kann RSA auch zum Signieren einer Nachricht verwendet werden.

Angenommen, Alice möchte eine signierte Nachricht an Bob senden. Sie erzeugt einen Hash-Wert der Nachricht, potenziert ihn mit d mod n (wie beim Entschlüsseln einer Nachricht) und hängt ihn als „Signatur“ an die Nachricht an. Wenn Bob die signierte Nachricht erhält, potenziert er die Signatur mit e mod n (genau wie beim Verschlüsseln einer Nachricht) und vergleicht den resultierenden Hash-Wert mit dem tatsächlichen Hash-Wert der Nachricht. Stimmen die beiden überein, weiß er, dass der Autor der Nachricht im Besitz von Alices geheimem Schlüssel war und die Nachricht seither nicht manipuliert wurde.

Beachten Sie, dass sichere Padding-Schemata wie RSA-PSS für die Sicherheit der Nachrichtensignierung genauso wichtig sind wie für die Nachrichtenverschlüsselung, und dass niemals derselbe Schlüssel sowohl für Verschlüsselungs- als auch für Signierungszwecke verwendet werden sollte.

Verweise

Andere Webseiten

 

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PROJEKT 8: KAPITEL EINS: DIE ILLUSION DER WIRKLICHKEIT.  

  • Schritt 1: Zahlen können probabilistisch auf Primzahl getestet werden.

  • Schritt 3: in PKCS#1 geändert  ( en ) v2.0 bis λ ( n ) = lcm ( p − 1 , q − 1 ) {\displaystyle \lambda (n)={\rm {lcm}}(p-1,q-1)\,} statt ϕ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) {\displaystyle \phi (n)=(p-1)(q-1)\,} .

  • Schritt 4: Eine beliebte Wahl für die öffentlichen Exponenten ist e {\displaystyle e\,} = 216 + 1 = 65537. Einige Anwendungen wählen stattdessen kleinere Werte wie e {\displaystyle e\,} = 3, 5 oder 35. Dies geschieht, um die Verschlüsselung und Signaturüberprüfung auf kleinen Geräten wie Smartcards zu beschleunigen, aber kleine öffentliche Exponenten können zu größeren Sicherheitsrisiken führen.

  • Die Schritte 4 und 5 können mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus durchgeführt werden  ( de ); siehe modulare Arithmetik .


Der öffentliche Schlüssel besteht aus dem Modulus n {\displaystyle n\,} und dem öffentlichen (oder Verschlüsselungs-)Exponenten e {\displaystyle e\,} .
Der private Schlüssel besteht aus p, q und dem privaten (oder Entschlüsselungs-) Exponenten d {\displaystyle d\,}, der geheim gehalten werden muss.

  • Aus Effizienzgründen kann eine andere Form des privaten Schlüssels gespeichert werden:

    • p {\displaystyle p\,} und q {\displaystyle q\,} : die Primzahlen aus der Schlüsselgenerierung,

    • d mod ( p − 1 ) {\displaystyle d\mod (p-1)\,} und d mod ( q − 1 ) {\displaystyle d\mod (q-1)\,} : oft dmp1 und dmq1 genannt.

    • q − 1 mod ( p ) {\displaystyle q^{-1}\mod (p)\,} : oft iqmp genannt

  • Alle Teile des privaten Schlüssels müssen in dieser Form geheim gehalten werden. p {\displaystyle p\,} und q {\displaystyle q\,} sind empfindlich, da sie die Faktoren von n {\displaystyle n\,} sind und die Berechnung von d {\displaystyle d\,} bei gegebenem e {\ Anzeigestil e\,} . Wenn p {\displaystyle p\,} und q {\displaystyle q\,} nicht in dieser Form des privaten Schlüssels gespeichert werden, werden sie zusammen mit anderen Zwischenwerten aus der Schlüsselgenerierung sicher gelöscht.

  • Obwohl diese Form eine schnellere Entschlüsselung und Signierung durch Verwendung des Chinese Remainder Theorem (CRT) ermöglicht, ist sie erheblich weniger sicher, da sie Seitenkanalangriffe ermöglicht  ( de ). Dies ist ein besonderes Problem, wenn es auf Chipkarten implementiert wird, die am meisten von der verbesserten Effizienz profitieren. (Beginne mit y = xe ( mod n ) {\displaystyle y=x^{e}{\pmod {n}}} und lass die Karte das entschlüsseln. Also berechnet sie yd ( mod p ) {\displaystyle y^{d }{\pmod {p}}} oder yd ( mod q ) {\displaystyle y^{d}{\pmod {q}}} deren Ergebnisse einen Wert z {\displaystyle z} ergeben. Induzieren Sie nun einen Fehler in einem der Berechnungen. Dann ergibt ggT ( z − x , n ) {\displaystyle \gcd(zx,n)} p {\displaystyle p} oder q {\displaystyle q} .)

Nachricht verschlüsseln

Alice gibt Bob ihren öffentlichen Schlüssel ( n {\displaystyle n\,} & e {\displaystyle e\,} ) und hält ihren privaten Schlüssel geheim. Bob möchte Nachricht M an Alice senden.

Zuerst wandelt er M in eine Zahl um, die kleiner ist als n {\displaystyle n}, indem er ein vereinbartes umkehrbares Protokoll verwendet, das als Padding-Schema bekannt ist. Er berechnet dann den Geheimtext c {\displaystyle c\,} entsprechend:

c = ich mod n {\displaystyle c=m^{e}\mod {n}}

Das geht schnell mit der Methode der Potenzierung durch Quadrierung . Bob sendet dann c {\displaystyle c\,} an Alice.

Nachricht entschlüsseln

Alice kann m {\displaystyle m\,} aus c {\displaystyle c\,} wiederherstellen, indem sie ihren privaten Schlüssel d {\displaystyle d\,} im folgenden Verfahren verwendet:

m = cd mod n {\displaystyle m=c^{d}{\bmod {n}}}

Bei gegebenem m {\displaystyle m\,} kann sie die ursprünglichen unterschiedlichen Primzahlen wiederherstellen, indem sie den chinesischen Restsatz auf diese beiden Kongruenzergebnisse anwendet

med ≡ m mod pq {\displaystyle m^{ed}\equiv m{\bmod {pq}}} .

Daher,

cd ≡ m mod n {\displaystyle c^{d}\equiv m{\bmod {n}}} .

Ein funktionierendes Beispiel

Hier ist ein Beispiel für die RSA-Verschlüsselung und -Entschlüsselung. Die hier verwendeten Parameter sind künstlich klein, aber Sie können OpenSSL auch verwenden, um ein echtes Schlüsselpaar zu generieren und zu untersuchen .

  1. Wähle zwei zufällige Primzahlen.

  2.   : p = 61 {\displaystyle p=61} und q = 53 ; {\displaystyle q=53;} Berechne n = pq {\displaystyle n=pq\,}

  3.   : n = 61 ∗ 53 = 3233 {\displaystyle n=61*53=3233}

  4. Berechnen Sie den Totienten ϕ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) {\displaystyle \phi (n)=(p-1)(q-1)\,}

  5.   : ϕ ( n ) = ( 61 − 1 ) ( 53 − 1 ) = 3120 {\displaystyle \phi (n)=(61-1)(53-1)=3120}

  6. Wähle e > 1 {\displaystyle e>1} teilerfremd zu 3120

  7.   : e = 17 {\displaystyle e=17}

  8. Wähle d {\displaystyle d\,}, um de mod ϕ ( n ) ≡ 1 {\displaystyle de{\bmod {\phi (n)}}\equiv 1\,} zu erfüllen

  9.   : d = 2753 {\displaystyle d=2753}

  10.   : 17 ∗ 2753 = 46801 = 1 + 15 ∗ 3120 {\displaystyle 17*2753=46801=1+15*3120} .


Der öffentliche Schlüssel ist ( n = 3233 {\displaystyle n=3233} , e = 17 {\displaystyle e=17} ). Für eine aufgefüllte Nachricht m {\displaystyle m\,} wird die Verschlüsselungsfunktion c = me mod n {\displaystyle c=m^{e}{\bmod {n}}} zu:

c = m 17 mod 3 233 {\displaystyle c=m^{17}{\bmod {3}}233\,}

Der private Schlüssel ist ( n = 3233 {\displaystyle n=3233} , d = 2753 {\displaystyle d=2753} ). Die Entschlüsselungsfunktion m = cd mod n {\displaystyle m=c^{d}{\bmod {n}}} wird zu:

m = c 2753 mod 3 233 {\displaystyle m=c^{2753}{\bmod {3}}233\,}


Um beispielsweise m = 123 {\displaystyle m=123} zu verschlüsseln, berechnen wir

c = 123 17 mod 3 233 = 855 {\displaystyle c=123^{17}{\bmod {3}}233=855}

Um c = 855 {\displaystyle c=855} zu entschlüsseln, berechnen wir

m = 855 2753 mod 3 233 = 123 {\displaystyle m=855^{2753}{\bmod {3}}233=123}

Diese beiden Berechnungen können effizient unter Verwendung des Square-and-Multiply-Algorithmus zur modularen Potenzierung berechnet werden  ( de ).

Ableitung der RSA-Gleichung aus dem Satz von Euler

RSA kann leicht unter Verwendung des Satzes von Euler und der Totient-Funktion von Euler abgeleitet werden.

Beginnend mit dem Satz von Euler,

m φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle m^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}

Unter Verwendung der modularen Arithmetik kann die Gleichung umgeschrieben werden als

 

 

Multiplizieren Sie beide Seiten mit m

m ≡ m φ ( n ) + 1 ( mod n ) {\displaystyle m\equiv m^{\varphi (n)+1}{\pmod {n}}}

Eulers Totient-Funktion hat die Eigenschaft für einige Werte p und q,

φ ( p × q ) = φ ( p ) × φ ( q ) {\displaystyle \varphi (p\times q)=\varphi (p)\times \varphi (q)}

Daher kann die Gleichung umgeschrieben werden als

m ≡ m φ ( p × q ) + 1 ( mod p × q ) {\displaystyle m\equiv m^{\varphi (p\times q)+1}{\pmod {p\times q}}}

Außerdem gilt für alle ganzen Zahlen k noch folgende Beziehung:

m ≡ mk × φ ( p × q ) + 1 ( mod p × q ) {\displaystyle m\equiv m^{k\times \varphi (p\times q)+1}{\pmod {p\times q} }}

Der Wert d wird aus der folgenden Gleichung abgeleitet, wobei e eine große Primzahl ist und für einige k so, dass d eine ganze Zahl ist:

d = k × φ ( p × q ) + 1 e {\displaystyle d={k\times {\varphi (p\times q)+1} \over {e}}}

Und nach Exponentenregeln gilt die folgende Aussage:

m = mek × φ ( p × q ) + 1 e {\displaystyle m=m^{e^{k\times {\varphi (p\times q)+1} \over {e}}}}

Da sich die e aufheben. Also beim Verschlüsseln des Geheimtextes m,

c ≡ ich ( mod p × q ) {\displaystyle c\equiv m^{e}{\pmod {p\times q}}}

Der ursprüngliche Wert von m kann von c abgeleitet werden, indem c auf d erhöht wird.

m ≡ cd ( mod p × q ) ≡ med ( mod p × q ) ≡ mek × φ ( p × q ) + 1 e ( mod p × q ) {\displaystyle m\equiv c^{d}{\pmod { p\times q}}\equiv m^{e^{d}}{\pmod {p\times q}}\equiv m^{e^{k\times {\varphi (p\times q)+1} \over {e}}}{\pmod {p\times q}}}

Die Gleichung zeigt die Äquivalenz gilt und den Fortschritt

 

Polsterschemata

In der Praxis muss RSA mit einem Padding-Schema kombiniert werden, damit keine Werte von M zu unsicheren Geheimtexten führen. Bei Verwendung von RSA ohne Polsterung können einige Probleme auftreten:

  • Die Werte m = 0 oder m = 1 erzeugen aufgrund der Potenzierungseigenschaften immer Chiffretexte gleich 0 bzw. 1.

  • Beim Verschlüsseln mit kleinen Verschlüsselungsexponenten (z. B. e = 3) und kleinen Werten von m kann das (nicht-modulare) Ergebnis von me {\displaystyle m^{e}} strikt kleiner als der Modulus n sein. In diesem Fall können Chiffretexte leicht entschlüsselt werden, indem die eth-Wurzel des Chiffretexts ohne Rücksicht auf den Modul genommen wird.

  • Die RSA-Verschlüsselung ist ein deterministischer Verschlüsselungsalgorithmus . Es hat keine Zufallskomponente. Daher kann ein Angreifer erfolgreich einen ausgewählten Klartextangriff gegen das Kryptosystem starten. Sie können ein Wörterbuch erstellen , indem sie wahrscheinliche Klartexte unter dem öffentlichen Schlüssel verschlüsseln und die resultierenden Geheimtexte speichern. Der Angreifer kann dann den Kommunikationskanal beobachten. Sobald sie Chiffretexte sehen, die mit denen in ihrem Wörterbuch übereinstimmen, können die Angreifer dieses Wörterbuch verwenden, um den Inhalt der Nachricht zu erfahren.

In der Praxis können die ersten beiden Probleme auftreten, wenn kurze ASCII- Nachrichten gesendet werden. In solchen Nachrichten kann m die Verkettung eines oder mehrerer ASCII-codierter Zeichen sein. Eine Nachricht, die aus einem einzelnen ASCII-NUL-Zeichen besteht (dessen numerischer Wert 0 ist), würde als m = 0 codiert werden, was einen Chiffretext von 0 erzeugt, unabhängig davon, welche Werte von e und N verwendet werden. Ebenso würde ein einzelner ASCII-SOH (dessen numerischer Wert 1 ist) immer einen Chiffretext von 1 erzeugen. Für Systeme, die herkömmlicherweise kleine Werte von e verwenden, wie z Das größte m hätte einen Wert von 255, und 2553 ist kleiner als jeder vernünftige Modul. Solche Klartexte könnten wiederhergestellt werden, indem man einfach die Kubikwurzel des Geheimtextes zieht.

Um diese Probleme zu vermeiden, betten praktische RSA-Implementierungen typischerweise irgendeine Form von strukturiertem, randomisiertem Padding in den Wert m ein, bevor sie ihn verschlüsseln. Dieses Auffüllen stellt sicher, dass m nicht in den Bereich unsicherer Klartexte fällt und dass eine bestimmte Nachricht, sobald sie aufgefüllt ist, in einen von einer großen Anzahl verschiedener möglicher Chiffretexte verschlüsselt wird. Die letztgenannte Eigenschaft kann die Kosten eines Wörterbuchangriffs über die Möglichkeiten eines vernünftigen Angreifers hinaus erhöhen.

Standards wie PKCS wurden sorgfältig entwickelt, um Nachrichten vor der RSA-Verschlüsselung sicher aufzufüllen. Da diese Schemata den Klartext m mit einigen zusätzlichen Bits auffüllen, muss die Größe der nicht aufgefüllten Nachricht M etwas kleiner sein. RSA-Padding-Schemata müssen sorgfältig entworfen werden, um ausgeklügelte Angriffe zu verhindern. Dies kann durch eine vorhersagbare Nachrichtenstruktur erleichtert werden. Frühe Versionen des PKCS-Standards verwendeten Ad-hoc- Konstruktionen, die sich später als anfällig für einen praktischen adaptiven Ciphertext-Angriff erwiesen . Moderne Konstruktionen verwenden sichere Techniken wie Optimal Asymmetric Encryption Padding (OAEP), um Nachrichten zu schützen und gleichzeitig diese Angriffe zu verhindern. Der PKCS -Standard hat auch Verarbeitungsschemata, die darauf ausgelegt sind, zusätzliche Sicherheit für

 

N

DER AUFSTIEG DES NERDS

NIEDERLANDE < AMSTERDAM.  {2: DAS EXPERIMENT VON NERD.}

#THE EXPERIMENT OF NERD: PRE-RELEASING DER xBORDER-PLATTFORM.

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NIEDERLANDE < AMSTERDAM.  {2: DAS EXPERIMENT VON NERD.}

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FOLGE  1: 

2019

DER AUFSTIEG DES NERDS

 

IN DER WELT VON IA ÄNDERT SICH SOFTWARE, VIRUSSCANNERS  

 

SCHÜTZEN SIE DAS „GEHIRN“ IHRES SYSTEMS IN EINEM VM CKOUD, PINPELINED FÜR SIE, VERSCHLÜSSELT DURCH UNSERE x-11 NIGHTSHADE 524SHA BLOCKCHAIN. PROTOKOLL. DIE ZUKUNFT VON  MALWARE SCHUTZ. GESPEICHERT IN AMSTERDAM, DEM RECHENZENTRUM DER WELT.  

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B​

VORVERÖFFENTLICHUNG DES xBORDER-PROJEKTS8. 

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WIR BIETEN EINE VORABVERÖFFENTLICHUNG IN DEN NIEDERLANDEN AN, UM UNSEREM SYNDIKAT TEILZUNEHMEN. WIR  

PROGRAMMIERER, PHYTHON, C++, VISUALB, BILDENDE KÜNSTLER,  GEEKS, NERDS, 3D-DESIGNER, REGIERUNGSANGESTELLTE<,  

WELTWEIT ERSTE BLOCK-CHAIN-BETRIEBENE,  API-INTELLIGENT  E-Commerce  NETZWERK WIRD WELTWEIT CROWDFONDIERT VERÖFFENTLICHT.

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EXKLUSIVE VORVERÖFFENTLICHUNG IN DEN NIEDERLANDEN, DIE BÜRGERMEISTERVERÖFFENTLICHUNG ALLER 8 PROJEKTE IST ENDE JANUAR,

- TÄGLICHE MEETUPS IN AMSTERDAM - IHR INPUT WIRD GEWERTET - GENERIEREN SIE MONRE-DIGISHARE - TRETEN SIE DEM RELEASE-TEAM BEI.

UNSER TEAM WIRD IM SYNDIKAT ARBEITEN UND DIE PROJEKTE EINS NACH DEM EINZELNEN BEREITSTELLEN UND DAS DATUM DER VERÖFFENTLICHUNG DES CROWDFUND FESTLEGEN

IN DEN VEREINIGTEN STAATEN SILIV

2019

DER AUFSTIEG DES NERDS

NIEDERLANDE < AMSTERDAM.

2013,  Zuerst  Philosophie,

 

Nachdem ich gewesen bin  konzipiert  als Wissenschaft der  Künstliche Intelligenz,..

2016, Erster Kontakt,  

Während der Arbeit an meinen Projekten, First Contact  wurde gemacht,..

2017,  Erster Kontakt,

Der Kontakt wurde bestätigt, Regierungen sind an der Plattform interessiert,..

2018, Multi-Layer of API-Intelligent Sign-Codes oder Blockchains.

INERD suchte in MEETUPS und anderen interessanten Orten: NERD sah meistens

TREFFEN  beziehend  Blockchain als  eine Währung,  nach Suckerberg und seiner Magie

Idee, Libra, (Retard), NERD, einzusetzen, um der Welt zu zeigen, was Blockchain ist

ist wirklich: Klein Intelligent  UNTERZEICHNUNG des CODES.  ( =010) 01.111.010,  S, wie exatoshi, ment the 

Blockchain  Satoshi=Gründer von Blockchain Japan,  

Blockchainj ist nur ein „Hype-Wort“ für  Intelligente Code-Signierung. 

Intelligent, in der Kette,  Bedeutet, dass es eine Antwort geben muss.   

 

Signing=Antworten müssen einfach eingeschlossen werden.

  (Sonst wäre es Smart Code, bzw  

Blockchain oder Intelligent Code Signing ist die Grundlage von a  ein neues Zeitalter.  

Ö

T

Wie Electriciry (oder ELectra TESLA, Light EDISON --  Größte

Bewegung der Europäer nach Amerika. ) (Licht) und davor Dampfdruck. (Carnagy Reisen, Zug))

Gefolgt von der Mass Railroad Deployment East West US, gefolgt von der Industriellen Revolution.

Transformation  TESLA, Electrra - TESLA - GLÜHBIRNE EDISON  --  Sprung in die Zukunft.

:E

Internet, Computerchip-- Software -- 2015/2019 DIscovery: Quantum Physica.  \

Intelligente Code Signierung -- Nanotechnologie -- Quantenphysik ---   Kybernetische Zeit

Kybernetik ---  Bionisch  Technologien --  StarWars und unendliches Leben.  

Der Mensch wird nicht SCHNELLER gehen als das Licht: Er wird die Raumzeit krümmen, so das Ergebnis

wird SCHNELLER sein als das LICHT, aber er wird NICHT schneller als das Licht reisen ... VERSTEHEN SIE ES?  

op

Dafür gibt es keinen Awnser. Verzeihung. HA Hawkings sagt, dass alles aufhören wird

6 PATENTE @ UNITED STATES TRADEMARK & PATENT OFFICE USPTO, CODE 6. (BEREIT Kyoto. ZUR BEREITSTELLUNG W)

https://trademarks.justia.com/owners/xborder-ltd-3727681/   

https://trademarks.justia.com/877/35/xvote-87735175.html

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IN DEN VEREINIGTEN STAATEN SILIV

 

 Æ

DIE BLAUPAUSE

XBORDER Patente USPTO

 Æ

BO-X-Projekt 8   -  Kapitel 1: Visionen

xBORDER-NETZWERK

BO-X-Projekt 8

xBorder, ein Blockchain-basiertes API-steuerbares (API-X) Cloud-Netzwerk (Cloud-X), das mehrere konfigurierbare Nodes enthält, die von seinen Node-Mastern gesteuert werden.

 

Project Xborder enthält 8 Projektebenen, die vom Benutzer konfigurierbar sind und durch Blockchain-basierte Sky-X-Verträge miteinander verbunden werden.  

BO-X =  BLOCK-X  + CLOUD-X  +  API-X  +  SANDBx

BLOCK-X , Blockchain-basiertes Interconnecting-Ruling-System.

CLOUD-X , Gesichertes Cloud-Netzwerk.

API-X , API-Netzwerk, das Endpunkte, Apps konfiguriert, bereitstellt, ausführt und nutzt, Verträge und Websites autorisiert.

SANDBx , Multi-Manager SANDBx fungiert als VPN-Manager und erstellt virtuelle gesicherte Pipelines.

Ich möchte interessierte Geeks & Nerds kennenlernen  Cloud- und Kryptoschichten, technologische Entwicklung und Star-Trek.  im xBORDER-Netzwerk, virtuelle Anwendung, die in vielen Konfigurationen und (Bender!)-Anwendungen biegbar ist  

Meine Mission ist es, dieses Projekt medial (TV, Events usw.) mit der Gnade eines Crowd-Fonds zu fördern und zu erweitern, einen Flagship-Store in Amsterdam zu eröffnen und der Welt zu zeigen, dass die xBorder-Plattform geboren wurde, um global zu sein.

Mit 5 bei USPTO Patents US angemeldeten Patenten und einer Energiequelle der Zukunft hat xBORDER die Kraft und Kreativität, um ein Visionär in Blockchain-basierten Plattformen zu werden.

Set: xBORDER wird vollständig transparent und vollständig Open Source funktionieren.


Set: Viele Entwicklungsteams arbeiten derzeit an verbesserten, schnellen und nicht energieverbrauchenden Setups von „Scripting of Contracts“, oder machen die gesicherten Berechnungen mit so wenig wie möglich Energie,  Für den kommerziellen Einsatz sind diese Berechnungen jedoch nicht schnell genug. Eine Zahlung oder Abschrift, eine Abstimmung ( X-VOTE !), eine Autorisierung oder was auch immer erfolgen muss, muss sofort erfolgen, dh für die kommerzielle Nutzung.  

xBORDER-Projekt 8,

kombiniert, experimentiert, entwickelt und integriert mehrschichtige oder Cloud-basierte Softwareprogramme wie Acronis System Sync, das Netzwerk von NORD VPN, die CORVID Api-basierte Code-HTML-Plattform von WIX und viele weitere, die noch kommen werden.

Experimentieren, verhandeln, bereitstellen, kleine Softwareteile, Schritt für Schritt wird ein ultimatives intelligentes Cloud-basiertes API-Netzwerk entstehen und mit den Plattformen können wir das ultimative intelligente intelligente API-Netzwerk aufbauen.  weiter zu Implementierungen von Software, die wir versuchen werden..  

Visionen, Visionen von Raketen, die nach den Sternen greifen werden ..

P. Oldenburger

INTELLIGENT _  NÄCHSTE EBENE  E-Commerce

APIX 

APIX 

WILLKOMMEN IN DER ZUKUNFT DES UNTERNEHMENS

xBORDER-Projekt 8   -  Kapitel 1     Visionen

Herzlich willkommen,  أ , ברוך הבWillkommen,  هلا بك,  Willkommen, 欢迎欢迎, ようこそ,  Bienvenue,  어서 오십시오, 

Mein ganzes Leben lang hatte ich Visionen, Visionen davon, Roboter zu bauen, die nach den Sternen greifen würden

Peter Willem Jacub  Oldenburg

xRAND  Projekt 8, Projekt Infinity.

xBORDER konzentriert sich auf die Bereitstellung von Geschäftskonzepten  mit Advance zu realisieren  Träume von Eigenständigkeit, Unternehmertum, Kreativität und Unabhängigkeit. Vollständig API-erweiterte intelligente Netzwerke, die in virtuellen Cloud-Umgebungen bereitgestellt werden. Jedes Projekt kann über das xBORDER-Netzwerk von seinen Administratoren und Controllern gesteuert werden und ist über die Blockchain konfigurierbar  Blockchain  Verträge eingesetzt  in Cloud-X und X-Voted von seinen Besitzern.  Projekte können von ihren Eigentümern konfiguriert werden, wo immer Sie sich befinden, Sie können ein Multi-Millionen-Dollar-Emporium über das xBORDER-Netzwerk betreiben. Die ultimative API-erweiterte intelligente Plattform.

xBORDER ist ein  führend in der Suchmaschinenoptimierung und -platzierung.

 

xBORDER Search Agency bietet hochmoderne Suchmaschinenmarketing- und Platzierungslösungen.

 

xRAND  Die Suchlösung erfasst eine Person in dem Moment, in dem sie ihr Abfrageergebnis sieht, und schafft so tiefgreifende und unmittelbare Möglichkeiten.

xRAND  bietet eine vollständige Palette von Webdesign- und E-Commerce-Lösungen, einschließlich  Google SERP, SEA, SEO, Suchmaschinenmarketing (SEM), Pay-per-Click (PPC)-Management, Partnerprogramm-Management, Call-Center-Dienste, Back-End-Auftragsmanagement, Druckdesign und Beratung.

xBORDER entwickelt effiziente Systeme, die Arbeiter, Maschinen, Materialien, Informationen und Energie integrieren, um ein Produkt herzustellen. Bekleidung, Kosmetik, Supermarktsortimente und mehr.

xBORDER-Projektplattform, bleiben Sie mit unserer interaktiven Projektplattform auf dem Laufenden, wo immer Sie sind und wann Sie wollen. Sie können Ihr Projekt online anpassen, hinzufügen, löschen, ändern und konfigurieren.

Kontaktieren Sie uns für eine Einführung und was wir für Ihr Unternehmen tun können.

 

 

 

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